Natürliche Zahlen

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Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Je nach Definition kann auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gezählt werden.
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird.
Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen ℕ abgekürzt.
In der weitverbreiteten Zeichenkodierung Unicode ist es das Zeichen mit dem Codepoint (mit der „Nummer“) U+2115 (ℕ). Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen (also ohne die 0)
N = { 1 ; 2 ; 3 ; … }
oder die nichtnegativen ganzen Zahlen (also inklusive der 0)
N 0 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … }.

Zur Erklärung: Für das Startelement, die „0“, ist die leere Menge ∅ \emptyset gewählt worden.
Die „1“ ist hingegen die Menge, welche die leere Menge als Element enthält. Dies sind verschiedene Mengen, denn die leere Menge „0“={} enthält kein Element, wohingegen die Menge „1“={0} genau ein Element enthält. Die Nachfolgermenge ist definiert als die Vereinigung der Vorgängermenge und der Menge, die die Vorgängermenge enthält.
Die Menge, die die Vorgängermenge enthält (sie ist also nicht leer), und die Vorgängermenge sind disjunkt, deshalb ist jede Nachfolgermenge von der Vorgängermenge verschieden. Hieraus ergibt sich insbesondere die Injektivität der so definierten Nachfolgerfunktion. Somit genügt diese den Peano-Axiomen.
Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen:
Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen.
Als Alternative kann man beim Körper R \mathbb {R} der reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von R \mathbb {R} definieren.
Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.
Bezeichnungskonventionen:
Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen N \mathbb {N} abgekürzt. In der weitverbreiteten Zeichenkodierung Unicode ist es das Zeichen mit dem Codepoint (mit der „Nummer“) U+2115 (ℕ). Sie umfasst entweder die positiven ganzen Zahlen:
(also ohne die 0)
N = { 1 ; 2 ; 3 ; … } oder die nichtnegativen ganzen Zahlen.
(also inklusive der 0)
N = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … }.