Als Interval wird in der Analysis, der Ordnungstopologie und verwandten Gebieten der Mathematik eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total (oder linear) geordneten Trägermenge (zum Beispiel der Menge der reellen Zahlen R \mathbb {R} ) bezeichnet. Ein (beschränktes) Intervall besteht aus allen Elementen x ,
die man mit zwei begrenzenden Elementen der Trägermenge, der unteren Grenze a a und der oberen Grenze b b des Intervalls, der Größe nach vergleichen kann und die im Sinne dieses Vergleichs zwischen den Grenzen liegen.
Zusammenhängend bedeutet hier: Wenn zwei Objekte in der Teilmenge enthalten sind, dann sind auch alle Objekte, die (in der Trägermenge) dazwischen liegen, darin enthalten. Die wichtigsten Beispiele für Trägermengen sind die Mengen der reellen, der rationalen, der ganzen und der natürlichen Zahlen. In den genannten Fällen und allgemeiner immer dann, wenn eine Differenz zwischen zwei Elementen der Trägermenge erklärt ist, bezeichnet man die Differenz zwischen der oberen und unteren Grenze des Intervalls ( b − a b-a) als Länge des Intervalls oder kurz Intervalllänge; für diese Differenz ist auch die Bezeichnung Intervalldurchmesser geläufig.
Wenn ein arithmetisches Mittel der Intervallgrenzen erklärt ist, wird dieses als Intervallmittelpunkt bezeichnet.
Beispiele: In der Menge der natürlichen Zahlen { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{5,6,7,8,9\} In diesem Fall einer diskreten Menge sind die Elemente des Intervalls benachbart.
Triviale Beispiele von Intervallen sind die leere Menge und Mengen, die genau ein Element besitzen. Wenn man diese nicht einschließen möchte, dann spricht man von echten Intervallen.
Die Menge { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \{5,6,7,8,9\} kann auch als Teilmenge der Trägermenge der reellen Zahlen betrachtet werden. In diesem Fall handelt es sich nicht um ein Intervall, da die Menge zum Beispiel die zwischen 6 und 7 liegenden nichtnatürlichen Zahlen nicht enthält.
Die Trägermenge der reellen Zahlen spielt insofern eine Sonderrolle unter den genannten Trägermengen für Intervalle, als sie ordnungsvollständig ist (s. a. Dedekindscher Schnitt). Intervalle sind in diesem Fall genau die im Sinne der Topologie zusammenhängenden Teilmengen.
Bezeichnungs- und Schreibweisen.
Ein Intervall kann (beidseitig) beschränkt oder – auch einseitig – unbeschränkt sein. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt, wenn zusätzlich angegeben wird, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.
Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen:
Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, eckige Klammern und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Die eckigen Klammern entsprechen einem schwachen Ungleichheitszeichen ≤.[1] Die runden Klammern () entsprechen einem starken Ungleichheitszeichen <.[1]
Bei der anderen Schreibweise werden statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) eckige verwendet. Im Folgenden werden beide Schreibweisen gezeigt und der Mengenschreibweise gegenübergestellt:
Als Intervall wird in der Analysis, der Ordnungstopologie und verwandten Gebieten der Mathematik eine „zusammenhängende“ Teilmenge einer total (oder linear) geordneten Trägermenge (zum Beispiel der Menge der reellen Zahlen R \mathbb {R} ) bezeichnet. Ein (beschränktes) Intervall besteht aus allen Elementen x ,
die man mit zwei begrenzenden Elementen der Trägermenge, der unteren Grenze a a und der oberen Grenze b b des Intervalls, der Größe nach vergleichen kann und die im Sinne dieses Vergleichs zwischen den Grenzen liegen.
Korrelation ist ein Maß für den statistischen Zusammenhang zwischen zwei Datensätzen. Unabhängige Variablen sind daher stets unkorreliert. Korrelation impliziert daher auch stochastische Abhängigkeit. Durch Korrelation wird die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Variablen quantifiziert. Beispiele für stochastische, abhängige Ereignisse wären das Verhältnis von Temperatur und Eiscremekonsum oder das Verhältnis von der Nachfrage eines Produktes und dessen Preis.
Korrelationen sind wichtig, weil ein existierender korrelativer Zusammenhang auch Hinweise geben kann, wie sich Variablen in der Zukunft verhalten werden. Damit können Korrelationen Indizien für eine Vorhersage liefern. Diese Möglichkeit der Vorhersage gibt Forschern ein wichtiges Werkzeug.
Beispielsweise könnten Betreiber von Wasserwerken den Verbrauch von Wasser in Zusammenhang mit der Werbung großer Fernsehereignisse bringen.