Ganze Zahlen

Gut zu Wissen

Jede natürliche Zahl 1,2,3 usw. besitzt eine negative Gegenzahl: -1;-2;-3 usw.
Diese sind auf der Zahlengerade jeweils symmetrisch zu ihrer positiven Gegenzahl angeordnet.
Die (positiven) natürlichen Zahlen stehen rechts von der Null, die negativen links davon. Zusammen mit der Zahl 0 bilden die positiven und die negativen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen.
Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, lateinisch numeri integri) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Das alternative Symbol Z {\mathbf {Z}} ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Der Unicode des Zeichens lautet U+2124 und hat die Gestalt ℤ.

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.
Die Menge, die die Vorgängermenge enthält (sie ist also nicht leer), und die Vorgängermenge sind disjunkt, deshalb ist jede Nachfolgermenge von der Vorgängermenge verschieden. Hieraus ergibt sich insbesondere die Injektivität der so definierten Nachfolgerfunktion. Somit genügt diese den Peano-Axiomen.
Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.
Ring:
Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h., sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze. Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form a + x = b a + x = b mit natürlichen Zahlen a a und b b stets gelöst werden: x = b − a x = b - a. Beschränkt man x x auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.
Anordnung:
Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge
--- < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 ---.
Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar. Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z.B. ist die Gleichung 2 x = 1 2x = 1 nicht in Z \mathbb {Z} lösbar.
Der kleinste Körper, der Z \mathbb {Z} enthält, sind die rationalen Zahlen Q \mathbb {Q} .
Euklidischer Ring:
Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest.